Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$10$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$- 8$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.1

Développez

$(2 - λ) (3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) (2 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ (3 - λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) (2 \cdot 3 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 + 2 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.3

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 2 λ - 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.2

Soustrayez

$3 λ$ de

$- 2 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - 2) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.2

Soustrayez

$2$ de

$6$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 5 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (1 (3 - λ) - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.1

Multipliez

$3 - λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - (- 1 \cdot 1)) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2

Multipliez

$- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ - - 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (3 - λ + 1) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.2

Additionnez

$3$ et

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (1 \cdot 2 - - (2 - λ))$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - (2 - λ))$

Étape 1.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 1 \cdot 2 - - λ))$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 - - λ))$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez

$- - λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + 1 λ))$

Étape 1.5.4.2.1.4.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - (- 2 + λ))$

Étape 1.5.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 - - 2 - λ)$

Étape 1.5.4.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (2 + 2 - λ)$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez

$2$ et

$2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (4 - λ)$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$4$ et

$- λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4) - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.1

Développez

$(4 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 5 λ) + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.1

Multipliez

$- 5$ par

$4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 4 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.2

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 5$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 4 - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.2.7

Multipliez

$4$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.3

Additionnez

$4 λ^{2}$ et

$5 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3} - 4 λ - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.4

Soustrayez

$4 λ$ de

$- 20 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ + 4) - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} - 10 (- λ) - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 10$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 10 \cdot 4 - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.7

Multipliez

$- 10$ par

$4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ + 4)$

Étape 1.5.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 - 8 (- λ) - 8 \cdot 4$

Étape 1.5.5.1.9

Multipliez

$- 1$ par

$- 8$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 8 \cdot 4$

Étape 1.5.5.1.10

Multipliez

$- 8$ par

$4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ^{3} + 10 λ - 40 + 8 λ - 32$

Étape 1.5.5.2

Additionnez

$- 24 λ$ et

$10 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 14 λ + 16 - λ^{3} - 40 + 8 λ - 32$

Étape 1.5.5.3

Additionnez

$- 14 λ$ et

$8 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ + 16 - λ^{3} - 40 - 32$

Étape 1.5.5.4

Soustrayez

$40$ de

$16$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 24 - 32$

Étape 1.5.5.5

Soustrayez

$32$ de

$- 24$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 56$

Étape 1.5.5.6

Déplacez

$- 6 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 6 λ - 56$

Étape 1.5.5.7

Remettez dans l’ordre

$9 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

$\frac{p}{q}$ où

$p$ est un facteur de la constante et

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

Étape 1.7.1.1.3

Remplacez

$- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

$0$ donc

$- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.1.3.1

Remplacez

$- 2$ dans le polynôme.

$- {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.2

Élevez

$- 2$ à la puissance

$3$ .

$- - 8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 8$ .

$8 + 9 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.4

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$8 + 9 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.5

Multipliez

$9$ par

$4$ .

$8 + 36 - 6 \cdot - 2 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.6

Additionnez

$8$ et

$36$ .

$44 - 6 \cdot - 2 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.7

Multipliez

$- 6$ par

$- 2$ .

$44 + 12 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.8

Additionnez

$44$ et

$12$ .

$56 - 56$

Étape 1.7.1.1.3.9

Soustrayez

$56$ de

$56$ .

$0$

Étape 1.7.1.1.4

Comme

$- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par

$λ + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56}{λ + 2}$

Étape 1.7.1.1.5

Divisez

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ par

$λ + 2$ .

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Étape 1.7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

$0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$6 λ$

$56$

Étape 1.7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$

Étape 1.7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			-	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- λ^{3} - 2 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

Étape 1.7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$11 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$

Étape 1.7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$22 λ$

Étape 1.7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$11 λ^{2} + 22 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$

Étape 1.7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$

Étape 1.7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

Étape 1.7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- 28 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$

Étape 1.7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							-	$28 λ$	-	$56$

Étape 1.7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- 28 λ - 56$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$

Étape 1.7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	+	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$6 λ$	-	$56$
			+	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$6 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$22 λ$
							-	$28 λ$	-	$56$
							+	$28 λ$	+	$56$
										$0$

Étape 1.7.1.1.5.16

Comme le reste est

$0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Étape 1.7.1.1.6

Écrivez

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 6 λ - 56$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.2.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme

$a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est

$a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ et dont la somme est

$b = 11$ .

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Étape 1.7.1.2.1.1.1

Factorisez

$11$ à partir de

$11 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.2

Réécrivez

$11$ comme

$4$ plus

$7$

$(λ + 2) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(λ + 2) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Étape 1.7.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

$- λ + 4$ .

$(λ + 2) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

$λ + 2$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.3.1

Définissez

$λ + 2$ égal à

$0$ .

$λ + 2 = 0$

Étape 1.7.3.2

Soustrayez

$2$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 2$

Étape 1.7.4

Définissez

$- λ + 4$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.1

Définissez

$- λ + 4$ égal à

$0$ .

$- λ + 4 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez

$- λ + 4 = 0$ pour

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.2.1

Soustrayez

$4$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 4$

Étape 1.7.4.2.2

Divisez chaque terme dans

$- λ = - 4$ par

$- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans

$- λ = - 4$ par

$- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.2.2

Divisez

$λ$ par

$1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.7.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.2.2.3.1

Divisez

$- 4$ par

$- 1$ .

$λ = 4$

Étape 1.7.5

Définissez

$λ - 7$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.5.1

Définissez

$λ - 7$ égal à

$0$ .

$λ - 7 = 0$

Étape 1.7.5.2

Ajoutez

$7$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 7$

Étape 1.7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(λ + 2) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ vraie.

$λ = - 2, 4, 7$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez

$2$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 + 2 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Additionnez

$4$ et

$2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez

$10$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez

$- 8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 + 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Additionnez

$2$ et

$2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 + 2 \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Additionnez

$3$ et

$2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 \\ 1 & 4 & 1 \\ - 1 & 2 & 5 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{6}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{6}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{10}{6} & \frac{- 8}{6} & \frac{0}{6} \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 4 - \frac{5}{3} & 1 + \frac{4}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{5}{3} & 5 - \frac{4}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{3}{7}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{3}{7}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{11}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{11}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & \frac{11}{3} - \frac{11}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{11}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 3 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 z \\ - z \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - 4 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Soustrayez

$4$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez

$10$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez

$- 8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 4 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Soustrayez

$4$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 4 \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Soustrayez

$4$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 \\ 1 & - 2 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Swap

$R_{2}$ with

$R_{1}$ to put a nonzero entry at

$1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{10}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{10}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{- 8}{10} & \frac{0}{10} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{4}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{3}{5} z = 0$

$y - \frac{4}{5} z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 z}{5} \\ \frac{4 z}{5} \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez

$- 7$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Multipliez

$- 7$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez

$- 7$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez

$- 7$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez

$- 7$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.5

Multipliez

$- 7$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6

Multipliez

$- 7$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7

Multipliez

$- 7$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8

Multipliez

$- 7$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.9

Multipliez

$- 7$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - 7 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Soustrayez

$7$ de

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 + 0 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.2

Additionnez

$10$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.3

Additionnez

$- 8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 + 0 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.4

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & 2 - 7 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.5

Soustrayez

$7$ de

$2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.6

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.7

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 + 0 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.8

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 - 7 \end{array}]$

Étape 5.2.3.9

Soustrayez

$7$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 \\ 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 5.3

Find the null space when

$λ = 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 10 & - 8 & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 10 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 & - 5 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 5 + \frac{10}{3} & 1 - \frac{8}{3} & 0 - 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 & 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - \frac{10}{3} & - 4 + \frac{8}{3} & 0 + 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{3} & - \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{3}{5}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{3}{5}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ - \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} (- \frac{5}{3}) & - \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{10}{3} & \frac{8}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{10}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{10}{3} \cdot 0 & - \frac{10}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & \frac{8}{3} + \frac{10}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{10}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 6 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Étape 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 z \\ - z \\ z \end{array}]$

Étape 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 6

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 6 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$